Examen Semifinal Michoacán 2010

Este es el examen semifinal de Michoacán. Para resolver en 4 horas.

  1. Se tienen 6 pelotas rojas (iguales entre sí), 5 pelotas azules (iguales entre sí) y dos cajas abiertas, una de ellas negra y la otra blanca. Desde lejos se lanzan pelotas hacia las cajas. Algunas pueden caer dentro de la caja blanca, otras dentro de la negra y otras fuera de las cajas. ¿Cuántos resultados son posibles? (por ejemplo, un resultado posible es que en la caja negra queden 3 pelotas rojas y ninguna azul, que en la caja blanca queden 2 rojas y que fuera de las cajas queden 1 roja y 2 azules).
  2. Encuentra 5 enteros positivos diferentes tales que el producto de cualesquiera dos de ellos sea múltiplo de cada uno de los demás.
  3. La figura representa una telaraña en la que cada segmento mide 1. La araña se encuentra en el centro y quiere llegar a la orilla caminando por los lados de los triángulos  y usando sólo 4 segmentos en total. ¿Cuántos caminos distintos puede seguir?
  4. En la figura las rectas son tangentes a las circunferencias en los puntos indicados. Calcula |CD| si se sabe que |AB|=10. (¿Es importante el tamaño de los círculos?)
  5. En una fila hay 6 fichas. Cada ficha tiene una caranegra N y la otra blanca B. Al principio se encuentran en la posición NBNBNB. Lulú puede hacer lo siguiente tantas veces como quiera: escoger dos fichas y voltearlas (por ejemplo, si se escoge la primera y la cuarta, las fichas quedan en la posición BBNNNB; si luego escoge la primera y la sexta entonces la nueva posición es NBNNNN). Haciendo esto, ¿cuántas posiciones distintas se pueden lograr?
  6. En un triángulo equilátero ABC de lado 2, se prolonga el lado AB hasta un punto D de manera que B sea punto medio de AD. Sea E un punto sobre AC de manera que el ángulo ADE mida 15º y se toma un punto F de manera que |EF|=|EC|. Determina el área del triángulo AFE.

Examen parcial: Matemática discreta

Este es el 3er parcial del curso de matemática discreta (tema: teoría de gráficas).

  1. Sea G una gráfica simple sin ciclos. Demuestra que |E| = |G|-\omega(G).
  2. Sea G una gráfica simple (posiblemente disconexa). Si G es 4-regular, entonces puedes colorear las aristas de rojo o azul de forma que cada vértice tenga el mismo número de aristas de cada color.
  3. Si en una gráfica simple cada vértice tiene grado k (k\ge 2), prueba que debe existir un ciclo de longitud mayor o igual a k+1.
  4. Si G, H son dos gráficas simples con el mismo número de vértices y las listas ordenadas de los grados de los vértices en cada gráfica son iguales, ¿necesariamente son gráficas isomorfas?
  5. Sea G una gráfica con 10 vértices y 38 aristas. Demuestra que contiene a K_4 como subgráfica inducida.
  6. ¿Cuantos automorfismos tiene la gráfica siguiente?