Mapeo logístico II

 

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Continuando con la temática del mapeo logístico…

Mapeo logístico y conjunto de Mandelbrot

 

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El mapeo logístico escondido en el conjunto de Mandelbrot.

OH MAI GOD.

Esto sí me ha hecho quedarme sin palabras, jamás de los jamases lo hubiera sospechado

Tarea sobre funciones generadoras

Del curso de matemáticas discretas.

Recuerden que esta tarea no es para entregar, es de práctica para el examen.

  1. Resuelve las recurrencias:
    1. a_n=5a_{n-1} + 2 para n\ge 1, con a_0=0.
    2. a_n = c a_{n-1} +b para n\ge 1, con a_0=0 y c,b constantes.
    3. a_{n+2} = 2 a_{n+1}- a_n para n\ge 0 y a_0=0, a_1=1.
  2. Para cada una de las siguientes sucesiones, encuentra de forma explícita la función generadora ordinaria y la función generadora exponencial.
    1. a_n=n.
    2. a_n=n^2.
    3. a_n=3^n.
    4. a_n = 5\cdot 4^n - 7\cdot 2^n.
  3. Si A(x) es la función generadora de la sucesión a_0, a_1,a_2, a_3, \ldots, ¿cual es la función generadora ordinaria de las sucesiones b_n?
    1. b_n = a_n + c.
    2. b_n= n a_n.
    3. 0,0,0,a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots.
    4. a_0, 0,a_1,0,a_2,0,a_3,0,a_4,\ldots.
    5. a_5,a_6,a_7,a_8,a_9, \ldots.
    6. a_0, a_2, a_4, a_6, a_8,\ldots.
  4. Si F(x) es la función generadora exponencial de la sucesión a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, ¿cuales son las funciones generadoras exponenciales de las sucesiones en el inciso anterior?
  5. Si A(x) es la función generadora ordinaria \sum_{n\ge 0} a_n x^n. ¿Cual es la función generadora ordinaria de la sucesión
    a_0, a_0+a_1, a_0+a_1+a_2, a_0+a_1+a_2+a_3,\ldots?
  6. Demuestra que si p_{par}(n) es el número de formas de particiones de n donde todas las partes son pares entonces
    \sum_{n\ge 0} p_{par} (n) = \prod_{k\ge 0} \frac{1}{1-x}
    Por ejemplo, para n=10 las particiones con partes pares son  [10], [8,2], [6,4],[6,2,2], [4,4,2],[4,2,2,2],[2,2,2,2,2,] y por tanto p_{par}(10)=7.
  7. ¿Cual es el coeficiente de x^n en el desarrollo de \frac{1}{(1-x^2)^2} ?
  8. Usa el método de funciones generadoras para hallar una fórmula para:
    1. la suma de  los primeros n números consecutivos.
    2. la suma de los cuadrados de los primeros n números consecutivos.
      Sugerencia: Considera el problema 5.
  9. ¿Cual es la función generadora de la sucesión  1,  1/2, 1/3, 1/4, … ?
  10. ¿Cual es la función generadora de la sucesión h_n donde
    h_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n}
    para n\ge 1 ?