Tarea sobre funciones generadoras

Del curso de matemáticas discretas.

Recuerden que esta tarea no es para entregar, es de práctica para el examen.

  1. Resuelve las recurrencias:
    1. a_n=5a_{n-1} + 2 para n\ge 1, con a_0=0.
    2. a_n = c a_{n-1} +b para n\ge 1, con a_0=0 y c,b constantes.
    3. a_{n+2} = 2 a_{n+1}- a_n para n\ge 0 y a_0=0, a_1=1.
  2. Para cada una de las siguientes sucesiones, encuentra de forma explícita la función generadora ordinaria y la función generadora exponencial.
    1. a_n=n.
    2. a_n=n^2.
    3. a_n=3^n.
    4. a_n = 5\cdot 4^n - 7\cdot 2^n.
  3. Si A(x) es la función generadora de la sucesión a_0, a_1,a_2, a_3, \ldots, ¿cual es la función generadora ordinaria de las sucesiones b_n?
    1. b_n = a_n + c.
    2. b_n= n a_n.
    3. 0,0,0,a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots.
    4. a_0, 0,a_1,0,a_2,0,a_3,0,a_4,\ldots.
    5. a_5,a_6,a_7,a_8,a_9, \ldots.
    6. a_0, a_2, a_4, a_6, a_8,\ldots.
  4. Si F(x) es la función generadora exponencial de la sucesión a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, ¿cuales son las funciones generadoras exponenciales de las sucesiones en el inciso anterior?
  5. Si A(x) es la función generadora ordinaria \sum_{n\ge 0} a_n x^n. ¿Cual es la función generadora ordinaria de la sucesión
    a_0, a_0+a_1, a_0+a_1+a_2, a_0+a_1+a_2+a_3,\ldots?
  6. Demuestra que si p_{par}(n) es el número de formas de particiones de n donde todas las partes son pares entonces
    \sum_{n\ge 0} p_{par} (n) = \prod_{k\ge 0} \frac{1}{1-x}
    Por ejemplo, para n=10 las particiones con partes pares son  [10], [8,2], [6,4],[6,2,2], [4,4,2],[4,2,2,2],[2,2,2,2,2,] y por tanto p_{par}(10)=7.
  7. ¿Cual es el coeficiente de x^n en el desarrollo de \frac{1}{(1-x^2)^2} ?
  8. Usa el método de funciones generadoras para hallar una fórmula para:
    1. la suma de  los primeros n números consecutivos.
    2. la suma de los cuadrados de los primeros n números consecutivos.
      Sugerencia: Considera el problema 5.
  9. ¿Cual es la función generadora de la sucesión  1,  1/2, 1/3, 1/4, … ?
  10. ¿Cual es la función generadora de la sucesión h_n donde
    h_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n}
    para n\ge 1 ?
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