Tarea Olímpica: Viernes 16 de julio

  • Una araña tiene 8 calcetines y 8 zapatos, numerados para cada una de sus patas. ¿En cuantos órdenes distintos puede ponerse los calcetines y los zapatos si no puede ponerse el zapato correspondiente una pierna sin antes ponerse el calcetín de la misma?
  • Un cajón tiene 100 calcetines rojos, 80 verdes, 60 azules y 40 negros. Si saca calcetines de uno en uno sin mirar, ¿cuantos tiene que sacar para asegurarse de tener 10 pares? (cada par está formado por dos calcetines de un mismo color, cualquiera que sea éste).
  • ¿De cuantas formas puedes escoger 5 elementos del conjunto {1,2,3,…,18} de forma que cualquiera dos de los escogidos tengan una diferencia de al menos 2?
  • Demuestra que si n es impar,  entonces la lista
    \binom{n}{1},\binom{n}{2},\binom{n}{3},\ldots,\binom{n}{\frac{n-1}{2}}
    contiene una cantidad impar de términos impares.
  • Prueba que si escoges 16 enteros distintos del conjunto {1,2,3,…100}, existen cuatro de ellos a, b, c, d tales que a+b=c+d.  Determina si esta cota es la mínima posible.
  • Manuel ha escogido 4 números del conjunto {1,2,3,4,5,6,7}. Si Manuel le dice a Dulce el producto de los 4 números, esta información no es suficiente para que Dulce pueda saber qué números son. ¿Cuanto vale el producto de los 4 números?
  • Sea k un número par. Demuestra que no es posible encontrar números positivos a_1, a_2,\ldots,a_k impares tales que 1=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_k}.
  • Si n es un entero positivo, demuestra que 3^{2^n}+1 es par pero no divisible por 4.

Los primeros 5 problemas aparecen en el libro 102 Combinatorial Problems from the Training of the USA IMO Team, los demás en 104 Number Theory Problems, ambos de Titu Andreescu